но куда копать пока не ясно
Необходимо провести полноценную компьютерную диагностику. Почему я спросил про сканер:
Дилерский сканер, при проведении компьютерной диагностики иммобилайзера, кодов неисправностей не выдаёт. Выдаёт только текущие данные.
Коды неисправностей иммобилайзера, если они действительно есть, можно обнаружить при диагностики блока управления двигателем.
Если приглашённый Вами диагност сделал диагностику двигателя, и на самом деле не обнаружил кодов неисправности, то вполне вероятно, что иммобилайзер не виноват. Одна из вероятных причин отсутствия искры может так же быть и неисправность датчика положения коленвала. А блок управления двигателем в редких случаях высвечивает эту ошибку.
Если самостоятельно Вы не в силах произвести необходимые проверки, то лучше обратится к специалисту для проверки осциллографом входные сигналы с датчиков и выходные сигналы с блока управления на катушки и форсунки.