Про пересечение границы РФ ничего сказать не могу, но в любом случае дома желательно оставить копию ПТС.
При пересечении границы никакого оригинала ПТС не требуется. Только свидетельство о регистрации ТС, заполненнная таможенная декларация на "временный вывоз" (обратно когда - "обратный ввоз") и страховка гражданской ответственности в той стране, куда едешь (проще говоря - "зеленая карта"). Права даже никто ни разу не смотрел

Еще не забудьте про то, что если машина кредитная, то неплохо иметь и полис каско, действующий в той стране, куда вы едете...