Итак, нашелся ответ.
Чего я только не пробовал. И крутил стрекозу, и дальним моргал, и аккум отсоединял, и предохранители переставлял - никакого толку. Сегодня приснился сон, в котором я хитрым образом взял переключатель (стрекозу), который поворачиваем, чтоб вкл/выкл, повернул и выключился свет. Но это был сон.
Утром сел в машину, завел (загорелся свет, хотя все в положении выключено), взялся за стрекозу, слегка потянул ее за самую вершину в направлении от руля (по радиусу от оси рулевого вала), как было во сне, повернул вкл., затем выкл. Свет погас. Я в шоке сидел секунд 30.
Видимо что-то не так с контактами в стрекозе. Может от холода. Может еще что. Придет весна - разберу посмотреть. Вот такая история.